복잡한 적분도
두 가지 기술로 풀 수 있어요

∫2x(x²+3)⁴dx 같은 식을 만나면 막막해지기 쉬워요. 이럴 때 쓰는 기술이 치환적분이에요. 식 안에 "어떤 함수와 그 함수의 미분"이 짝지어 들어있다면, 그 함수를 통째로 새 문자 u로 바꿔치기해서 훨씬 간단한 식으로 만들어요. u=x²+3으로 놓으면 du=2x dx가 되어, 원래 식이 ∫u⁴du라는 간단한 거듭제곱 적분으로 바뀌어요.

서로 다른 두 종류의 함수가 곱해진 형태(예: x·eˣ)는 부분적분 공식 ∫u dv = uv − ∫v du를 써요. 이 두 방법으로 구한 답이 정말 맞는지는 적분 구간을 아주 잘게 쪼갠 직사각형의 넓이를 모두 더하는 리만 합으로 근사값을 구해서 직접 검산할 수 있어요. 두 값이 거의 똑같이 나오는지 직접 확인해보세요.

치환적분: f(g(x))·g′(x) 꼴의 식은, u=g(x)로 바꿔치기하면 훨씬 간단한 ∫f(u)du 형태가 돼요. 여기서는 ∫2x(x²+a)ⁿdx를 u=x²+a로 치환해봐요(du=2x dx가 딱 맞아떨어져요).