정적분은 원래 "넓이"를 구하는 도구였지만, 같은 아이디어를 살짝 바꾸면 회전체의 부피도, 움직인 거리도 구할 수 있어요. 얇게 썰어서 더한다는 정적분의 핵심 원리가 어떻게 확장되는지 두 가지 상황으로 확인해보세요.
부피 쪽 원리: 회전체를 얇은 원판(디스크) 여러 개로 잘라 각 원판의 부피(넓이×두께)를 다 더하면 전체 부피가 나와요. 원판의 반지름이 f(x)라면 넓이는 π·f(x)², 이걸 x=0부터 a까지 적분하면 V = π∫f(x)²dx예요.
거리 쪽 원리: 속도 v(t)를 시간에 대해 적분하면 위치의 변화량(변위)이 나와요. v-t 그래프에서 곡선 아래 넓이가 바로 이동한 거리라는 뜻이에요. 이건 정적분이 원래 "넓이"였다는 사실과 정확히 같은 아이디어예요 — 이번엔 가로축이 시간, 세로축이 속도일 뿐이에요.