어떤 실수를 제곱해도 음수가 될 수 없어요. 그런데 수학자들은 "그런 수가 있다고 하면 어떨까?"라는 상상에서 출발해 완전히 새로운 수의 체계를 만들었어요. 지금은 전자공학부터 양자역학까지 실제로 쓰이는, 허수와 복소수의 세계로 들어가봐요 (일부 내용은 고등학교 수준이에요).
제곱해서 −1이 되는 수를 i라고 정의해요(i² = −1). 실수에 i를 곱한 수를 허수라고 하고, 실수와 허수를 더한 a+bi 꼴의 수를 복소수라고 해요. 복소수는 가로축이 실수, 세로축이 허수인 평면(복소평면) 위의 한 점으로 그릴 수 있어요.
x² = a라는 방정식을 풀어보세요. a가 양수면 실수 범위에서 풀리지만, a가 음수가 되는 순간 실수로는 답을 구할 수 없어요.
i를 계속 곱하면 1, i, −1, −i 네 값을 영원히 반복해요. n이 아무리 커도 4로 나눈 나머지만 알면 바로 답을 알 수 있어요.
복소수의 덧셈은 벡터처럼 더해지고, 곱셈은 크기는 곱하고 각도는 더해져요. 두 복소수와 연산을 골라 복소평면에서 확인해보세요.
복소수는 "실수부, 허수부"뿐 아니라 "원점에서 거리(크기)와 각도"로도 나타낼 수 있어요. 이걸 극형식이라고 하고, 반지름이 1인 단위원 위의 점들은 특히 오일러 공식과 이어져요.
전기공학에서는 교류 전류의 크기와 위상(타이밍 차이)을 한 번에 다루려고 복소수를 써요. 저항, 코일, 콘덴서가 섞인 회로 계산이 복소수 덕분에 훨씬 간단해져요.
신호·이미지 처리에서는 소리나 이미지를 여러 파동으로 분해하는 푸리에 변환에 복소수가 핵심적으로 쓰여요. 음악 앱의 이퀄라이저, 사진 압축 모두 이 원리를 활용해요.
양자역학에서는 입자의 상태를 나타내는 파동함수 자체가 복소수예요. 허수 없이는 양자역학의 방정식을 아예 쓸 수조차 없어요.