12와 18의 최대공약수는 6, 최소공배수는 36이에요. 신기하게도 6×36=216인데, 12×18도 정확히 216이에요! 이건 우연이 아니라 항상 성립하는 관계예요. 두 수를 슬라이더로 바꿔가며 이 관계가 항상 성립하는지 확인해보세요.
왜 이 관계가 항상 성립할까요? 두 수를 소인수분해하면, 최대공약수는 "공통으로 가진 소인수를 낮은 지수만큼" 모은 것이고, 최소공배수는 "각 소인수를 더 높은 지수만큼" 모은 것이에요. 그런데 두 수 A, B를 각각 소인수분해해서 곱하면, 결국 공통 부분(GCD가 가져간 것)과 나머지 부분(LCM에 추가로 들어간 것)을 합친 것과 정확히 같아져요.
이 관계를 알면, 최소공배수를 구하기 어려울 때 "A×B÷최대공약수"로 빠르게 계산할 수 있어요 — 유클리드 호제법으로 최대공약수만 구하면 최소공배수도 나눗셈 한 번으로 바로 나와요.