피보나치 수열에서 바로 옆 두 항을 나누면(뒷항÷앞항), 처음엔 값이 들쭉날쭉하지만 항이 늘어날수록 점점 한 값에 가까워져요. 그 값이 바로 황금비 φ ≈ 1.618…이에요. 슬라이더로 항의 번호를 늘려가며 비율이 φ에 가까워지는 걸 확인해보세요.
왜 황금비로 수렴할까요? 피보나치 수열은 F(n+1) = F(n) + F(n-1)로 정의돼요. 비율 r = F(n+1)/F(n)이 어떤 값에 수렴한다고 하면, 양변을 F(n)으로 나눈 관계에서 결국 r = 1 + 1/r 이라는 방정식을 얻어요. 이걸 풀면 r² = r + 1이 되는데, 이 방정식의 양의 해가 정확히 황금비 φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618이에요.
해바라기 씨앗 배열이나 앵무조개 껍질처럼 자연에서 나선 구조가 자주 나타나는 이유도, 이 수렴 성질과 관련이 있어요.