"온도는 25도예요"라는 말에는 방향이 없어요. 숫자 하나로 충분하죠. 그런데 "바람이 분다"고 말하려면 세기(초속 몇 미터)뿐 아니라 방향(어느 쪽에서 부는지)까지 알아야 완전한 정보가 돼요. 이렇게 크기와 방향을 동시에 갖는 양을 벡터라고 부르고, 화살표로 나타내요. 화살표의 길이가 크기를, 화살표가 가리키는 쪽이 방향을 나타내요.
벡터를 좌표로 나타낼 때는 u=(uₓ, uᵧ)처럼 써요. 이건 "x축 방향으로 uₓ만큼, y축 방향으로 uᵧ만큼 이동한다"는 뜻이에요. 두 벡터를 더하는 방법이 재미있는데, u의 화살표 끝에 v의 화살표를 이어 붙이고, 맨 처음 출발점에서 마지막 도착점까지 새 화살표를 그으면 그게 바로 u+v예요("삼각형법칙"). 좌표로 계산할 때는 그냥 각 성분끼리 더하기만 하면 돼요: (uₓ+vₓ, uᵧ+vᵧ).
벡터끼리 곱하는 방법 중 내적(u·v = uₓvₓ+uᵧvᵧ)은 특별한 의미가 있어요. 내적은 "두 벡터가 같은 방향으로 얼마나 나란한지"를 숫자 하나로 알려줘요. 내적이 크고 양수면 두 벡터가 비슷한 방향을 향하고, 내적이 음수면 반대 방향에 가깝다는 뜻이에요. 그리고 가장 중요한 성질 — 내적이 정확히 0이면, 두 벡터는 반드시 수직이에요. 이건 내적의 또 다른 공식 u·v=|u||v|cos θ에서 바로 확인할 수 있어요. θ=90°일 때 cos 90°=0이라서 내적도 무조건 0이 되거든요.
내적이 0이면 수직이라는 성질은 실전에서 아주 유용해요. 두 직선이 수직인지 확인하고 싶을 때, 각도기 없이도 두 방향벡터의 내적만 계산해서 0인지 확인하면 끝이에요. 건축이나 로봇공학에서 벽이 정확히 직각으로 서 있는지, 로봇 팔이 정확한 각도로 움직였는지 확인할 때도 이 원리가 쓰여요.
벡터의 크기 |u| = √(uₓ²+uᵧ²)라는 공식이 낯익지 않나요? 바로 공간좌표에서 배운 거리 공식과 똑같은 모양이에요. 사실 벡터는 "원점에서 어떤 점까지 가는 화살표"로 볼 수 있어서, 벡터의 크기가 곧 그 점까지의 거리와 같아요. 좌표, 거리, 벡터는 서로 다른 이름을 가진 것 같지만, 사실은 하나로 연결된 같은 아이디어예요.
아이들과 공부할 때는 지도에서 "동쪽으로 3km, 북쪽으로 4km" 같은 실제 이동 경로를 화살표로 그려보게 하는 게 좋아요. 두 번 이동한 경로를 이어 붙이면 실제로 어디에 도착하는지 계산해보면, 벡터 덧셈이 왜 그렇게 정의되는지 자연스럽게 이해돼요. 저희 체험 페이지에서는 두 벡터의 좌표를 직접 숫자로 입력하며 덧셈이 어떻게 이루어지는지 확인하고, 각도를 바꿔가며 내적이 0이 되는 순간(수직)을 직접 찾아볼 수 있어요.