일차함수와 이차함수를 배우고 나면, 고등학교 1학년 과정에서는 네 가지 새로운 함수를 만나요. 유리함수와 무리함수는 지금까지와는 다른 모양의 그래프를 보여주고, 합성함수와 역함수는 함수 그 자체를 재료 삼아 새로운 함수를 만드는 방법을 보여줘요.
유리함수부터 볼게요. y = k/(x−p) + q 꼴의 식을 유리함수라고 해요. 여기서 분모가 0이 되는 x=p는 애초에 정의될 수 없어요. 그래서 그래프는 x=p라는 세로선과 y=q라는 가로선에 한없이 가까워지기만 하고 절대 닿지 않는, 두 갈래로 갈라진 곡선이 돼요. 이렇게 그래프가 다가가기만 하고 만나지는 않는 직선을 점근선이라고 불러요. 가장 간단한 형태인 y=k/x(반비례 그래프)를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동한 것이 바로 y=k/(x−p)+q라고 이해하면 훨씬 쉬워요.
무리함수는 y=√(식) 꼴로 뿌리(근호) 안에 문자가 들어간 함수예요. 뿌리 안의 값은 절대 음수가 될 수 없기 때문에, 무리함수는 정의역이 한쪽 방향으로 제한된다는 특징이 있어요. 예를 들어 y=√(x−p)+q는 x−p가 0 이상이어야 하니까 정의역이 x≥p로 제한되고, 그래프는 점 (p,q)에서 시작해서 오른쪽 위로 점점 완만하게 뻗어나가요. 뿌리 안의 부호나 뿌리 앞의 부호를 바꾸면 시작점에서 뻗어나가는 방향이 위·아래·왼쪽·오른쪽으로 달라져요.
합성함수는 앞의 둘과는 결이 달라요. 두 함수 f와 g가 있을 때, (f∘g)(x)=f(g(x))는 "x를 먼저 g에 넣고, 그 결과를 다시 f에 넣는다"는 뜻이에요. 예를 들어 f(x)=2x+1이고 g(x)=x−3이면, (f∘g)(x)=f(g(x))=f(x−3)=2(x−3)+1=2x−5가 돼요. 여기서 꼭 기억해야 할 점은, 순서를 바꾼 (g∘f)(x)=g(f(x))는 대부분 전혀 다른 함수가 된다는 거예요. 같은 예시로 (g∘f)(x)=g(2x+1)=(2x+1)−3=2x−2가 되어, (f∘g)(x)=2x−5와는 다른 식이 나와요. 합성함수는 곱셈처럼 순서를 바꿔도 되는 연산이 아니에요.
역함수는 어떤 함수 f의 입력과 출력을 통째로 뒤바꾼 함수예요. f(x)=ax+b라면, x와 y의 역할을 바꿔서 다시 y에 대해 정리하면 역함수 f⁻¹(x)=(x−b)/a를 얻을 수 있어요. 역함수가 존재하려면 원래 함수가 "하나의 출력에 하나의 입력만 대응"하는 일대일 함수여야 해요(일차함수는 항상 이 조건을 만족해요).
그래서 f 위의 점 (t, f(t))를 직선 y=x에 대칭이동하면 언제나 f⁻¹ 위의 점 (f(t), t)가 돼요. 이 성질 때문에 f와 f⁻¹의 그래프는 항상 직선 y=x에 대해 좌우대칭(정확히는 선대칭)을 이뤄요. 원래 함수의 정의역은 역함수의 치역이 되고, 원래 함수의 치역은 역함수의 정의역이 된다는 점도 함께 기억해두면 좋아요.
네 함수 모두 낯설어 보이지만, 사실 공통점이 있어요. 유리함수와 무리함수는 "이 식이 정의되려면 x가 어떤 조건을 만족해야 할까?"를 먼저 따지는 습관을 길러주고, 합성함수와 역함수는 "함수를 하나의 덩어리로 보고 조합하거나 뒤집는" 사고방식을 길러줘요. 이 사고방식은 앞으로 배울 미적분에서도 계속 쓰이는 아주 중요한 도구예요.
저희 체험 페이지에서는 슬라이더로 점근선의 위치와 정의역의 방향을 직접 바꿔보고, 함수 기계 그림으로 합성함수의 계산 순서를 확인하고, 역함수의 점이 y=x에 대해 어떻게 대칭이 되는지 그래프로 직접 확인할 수 있어요.