지금까지 이차방정식과 이차부등식을 배웠다면, 이번엔 그것들이 여러 개 겹칠 때와, 절댓값이 낀 방정식·부등식을 다뤄볼게요. 셋 다 얼핏 달라 보이지만, 결국 "조건을 동시에 만족하는 x를 찾는다"는 같은 아이디어예요.
연립이차방정식부터 볼게요. 직선 y=mx+k와 포물선 y=x²을 동시에 만족하는 점을 찾으려면, 두 식을 연립해서(같다고 놓고) x²=mx+k, 즉 x²−mx−k=0이라는 이차방정식을 풀면 돼요. 이 방정식의 판별식 D=m²+4k를 보면, D>0이면 직선과 포물선이 두 점에서 만나고, D=0이면 한 점에서 접하고, D<0이면 전혀 만나지 않아요. 즉 그래프 두 개가 만나는 문제는 결국 이차방정식의 판별식 문제로 바뀌는 거예요.
연립부등식은 두 개 이상의 부등식을 동시에 만족하는 x를 찾는 문제예요. 각 부등식의 해를 수직선 위에 그려보면, 어떤 구간은 한쪽 부등식만 만족하고, 어떤 구간은 양쪽 다 만족해요. 연립부등식의 해는 정확히 이 "양쪽 다 만족하는" 겹치는 구간이에요. 마치 두 조건을 동시에 만족하는 사람을 찾을 때, 두 조건의 교집합을 구하는 것과 똑같은 원리예요.
마지막으로 절댓값을 포함한 방정식과 부등식이에요. 절댓값 |x−a|는 사실 "수직선 위에서 x와 a 사이의 거리"를 뜻해요. 그래서 |x−a|=b는 "a로부터 거리가 정확히 b인 점을 찾아라"는 뜻이고, 답은 항상 a를 중심으로 대칭인 두 점 a−b와 a+b예요. |x−a|<b는 "a에서 거리가 b보다 가까운 범위"라서 a−b와 a+b 사이 전체가 해가 되고, 반대로 |x−a|>b는 "a에서 거리가 b보다 먼 범위"라서 그 구간의 바깥쪽 전부가 해가 돼요. 절댓값 기호를 무작정 두 가지 경우로 나눠 계산하기보다, "거리"라는 그림으로 먼저 이해하면 훨씬 헷갈리지 않아요.
이 세 가지는 실생활에서도 자주 쓰여요. 연립이차방정식은 두 가지 조건(예: 예산과 최소 크기)을 모두 만족하는 지점을 찾을 때, 절댓값 부등식은 "목표값에서 오차 범위 안에 들어와야 한다"(예: 부품 길이가 10cm에서 ±0.1cm 이내여야 한다, 즉 |길이−10|≤0.1) 같은 상황에 딱 맞아요. 저희 체험 페이지에서는 세 가지를 탭으로 나눠, 슬라이더로 값을 바꿔가며 그래프의 교점·수직선의 겹치는 구간·절댓값의 거리 개념을 직접 확인할 수 있어요.