단위원(반지름이 1인 원) 위의 점을 각도 θ만큼 빙글빙글 돌리면, 그 점의 y좌표(sin θ)는 올라갔다 내려갔다를 반복해요. 이 점이 지나온 높이를 시간 순서대로 옆으로 쭉 펼쳐서 그려보면, 매끈하게 오르내리는 파도 모양의 곡선이 나타나요. 이게 바로 사인함수 y=sin x의 그래프예요. 원을 돌리는 운동과 파도치는 그래프가 사실은 같은 것을 다른 방식으로 보여주는 셈이죠.
코사인함수 y=cos x도 똑같은 원리로 만들어지는데, 시작점이 다를 뿐이에요. sin은 0°에서 0에서 출발하지만, cos는 0°에서 이미 1(가장 높은 자리)에서 출발해요. 그래서 cos 그래프는 sin 그래프를 왼쪽으로 90°만큼 밀어놓은 모양과 정확히 같아요. 두 그래프 모두 360°(한 바퀴)마다 똑같은 모양이 반복되는데, 이렇게 일정한 간격으로 같은 모양이 되풀이되는 성질을 "주기성"이라고 불러요.
이 파도 그래프의 생김새를 자유자재로 바꾸는 네 가지 조절 장치가 있어요. 진폭(a)은 파도가 얼마나 높이 출렁이는지를, 주기(b가 클수록 짧아짐)는 한 번 출렁이는 데 가로로 얼마나 걸리는지를 정해요. 위상이동(h)은 파도를 좌우로 밀어주고, 평행이동(d)은 파도 전체를 위아래로 밀어줘요. 스피커에서 나오는 소리의 높낮이(주파수)와 크기(음량)도 결국 이 진폭과 주기를 조절하는 것과 똑같은 원리예요.
탄젠트함수 y=tan x는 sin·cos와는 사뭇 다르게 생겼어요. tan θ = sin θ ÷ cos θ로 정의되는데, cos θ가 0이 되는 지점(90°, 270°…)에서는 분모가 0이 되어버려서 그래프가 하늘 끝까지 치솟았다가 바닥까지 뚝 떨어지며 끊어져요. 이렇게 그래프가 정의되지 않아 끊어지는 세로선을 "점근선"이라고 부르는데, tan 그래프는 이 점근선을 사이에 두고 180°마다(주기가 sin·cos의 절반) 같은 모양이 반복돼요.
삼각함수의 그래프는 우리 주변의 반복되는 현상을 설명하는 데 아주 유용하게 쓰여요. 바닷물이 하루 두 번 들어왔다 나가는 밀물·썰물, 스피커에서 나오는 소리의 파형, 관람차가 회전하며 바뀌는 탑승칸의 높이, 가정에 흐르는 교류(AC) 전류의 세기까지 모두 사인·코사인 곡선으로 정확히 표현할 수 있어요. "일정한 규칙으로 오르내림을 반복하는 모든 것"은 사실상 삼각함수 그래프로 설명된다고 봐도 무방해요.
아이들과 공부할 때는 관람차나 그네처럼 실제로 오르내리는 움직임을 먼저 떠올리게 한 뒤, 그 높이를 시간에 따라 그려보면 무슨 모양이 나올지 예상해보게 하는 게 좋아요. 저희 체험 페이지에서는 sin·cos·tan 중 하나를 고르고 진폭·주기·위상이동·평행이동을 슬라이더로 직접 바꿔가며, 기준이 되는 파도(점선)와 변형된 파도(실선)가 어떻게 달라지는지 눈으로 바로 확인할 수 있어요.