삼각형의 넓이를 구하라고 하면 대부분 "밑변×높이÷2"부터 떠올려요. 그런데 이 공식을 쓰려면 밑변에 수직으로 내린 높이를 알아야 하는데, 실제로 도형을 그려놓고 높이를 직접 재는 건 생각보다 번거로워요. 삼각비를 쓰면 이 번거로움이 완전히 사라져요. 두 변 a, b와 그 사이에 낀 각 C만 알면, 넓이 = (1/2)×a×b×sinC로 바로 계산할 수 있거든요.
왜 이게 성립할까요? 밑변 a에서 다른 꼭짓점까지 수직으로 내린 높이를 h라고 하면, 변 b와 높이 h, 그리고 각 C가 만드는 직각삼각형에서 sinC = h/b라는 관계가 성립해요. 그러니 h = b×sinC이고, 이걸 원래 공식 (1/2)×a×h에 대입하면 (1/2)×a×b×sinC가 나와요. 결국 삼각비 공식은 "밑변과 높이를 직접 재는 대신, 변 하나와 각 하나로 높이를 계산해서 넣은 것"뿐이에요. 실제로 어떤 각을 끼인각으로 골라도 넓이는 항상 같은 값이 나오는데, 이것도 이 공식이 원래 넓이 공식과 다르지 않다는 걸 보여줘요.
삼각비는 넓이뿐 아니라 직접 잴 수 없는 거리를 구하는 데도 쓰여요. 대표적인 예가 건물이나 나무의 높이 측량이에요. 건물 밑에서 어느 정도 떨어진 지점에 서서, 그 지점에서 건물 꼭대기까지의 수평면과 이루는 각(이걸 앙각이라고 해요)을 각도기나 클리노미터로 재면, 관측 지점부터 건물까지의 수평거리 x와 앙각 θ만으로 높이를 구할 수 있어요. 관측자, 건물 밑, 건물 꼭대기가 만드는 직각삼각형에서 tanθ = 높이/x이므로, 높이 h = x × tanθ가 성립하거든요.
그런데 만약 건물에 얼마나 가까이 있는지, 즉 수평거리 x를 정확히 모른다면 어떨까요? 이럴 때는 두 지점에서 각각 앙각을 재는 방법을 써요. 건물에서 먼 지점 A와, 거기서 건물 쪽으로 정해진 거리만큼 다가간 지점 B에서 각각 앙각을 재면, 두 개의 미지수(건물 높이, B에서 건물까지의 거리)에 대한 두 개의 식이 생겨요. 이 두 식을 연립해서 풀면 거리를 몰라도 높이를 정확히 구할 수 있어요. 실제로 오래전부터 산의 높이나 별까지의 거리를 잴 때도 바로 이런 원리(삼각측량)가 쓰였어요.
정리하면, 삼각비는 "자로 직접 잴 수 없는 것"을 각도와 거리 몇 개만으로 계산해내는 도구예요. 실험실 페이지에서 변과 끼인각을 슬라이더로 바꿔가며 넓이가 어떻게 변하는지, 그리고 거리와 앙각을 바꿔가며 건물의 높이가 어떻게 계산되는지 직접 확인해보세요.