삼각형과 사각형은 초등학교 때부터 봐온 익숙한 도형이지만, 중학교에서는 "왜 그런지"를 논리적으로 설명하는 단계로 넘어가요. 크기나 각도를 아무리 바꿔도 절대 변하지 않는 성질들이 있는데, 그 성질을 알면 도형 문제를 훨씬 빠르게 풀 수 있어요.
이등변삼각형부터 볼게요. 두 변의 길이가 같은 삼각형인데, 재미있는 점은 "두 변의 길이가 같다"는 조건 하나만으로 "그 변과 마주보는 두 각(밑각)의 크기도 같다"는 결론이 자동으로 따라온다는 거예요. 변의 길이라는 조건이 각도라는 전혀 다른 성질을 결정해버리는 거죠. 이걸 증명할 때는 꼭짓점에서 밑변에 수선을 내려 삼각형을 정확히 반으로 접는 방법을 쓰는데, 접었을 때 완전히 겹쳐진다는 사실(합동)에서 두 밑각이 같다는 게 밝혀져요.
사각형 이야기로 넘어가면, 평행사변형이 가장 기본이 되는 도형이에요. 마주보는 두 쌍의 변이 각각 평행하기만 하면 평행사변형이라고 불러요. 이 조건 하나로부터 "마주보는 변의 길이가 같다", "마주보는 각의 크기가 같다", "두 대각선이 서로를 정확히 반으로 나눈다(이등분한다)"는 성질들이 줄줄이 따라와요. 특별한 조건을 더 추가하지 않아도, 평행하다는 사실 하나만으로 이렇게 많은 성질이 자동으로 생기는 게 평행사변형의 매력이에요.
평행사변형에 조건을 하나씩 더 얹으면 더 특별한 사각형이 돼요. 네 각을 모두 90°로 만들면 직사각형이 되고, 이때는 추가로 "두 대각선의 길이가 서로 같다"는 성질이 생겨요. 반대로 네 변의 길이를 모두 같게 만들면 마름모가 되는데, 이번엔 "두 대각선이 서로 수직으로 만난다"는 성질이 생겨요. 그리고 이 두 조건(네 각이 90°, 네 변이 같다)을 동시에 만족시키면 정사각형이 돼요 — 정사각형은 직사각형이면서 동시에 마름모인 셈이라, 두 도형의 성질을 전부 물려받아요.
마지막으로 사다리꼴은 평행사변형보다 훨씬 느슨한 조건을 가져요. 딱 한 쌍의 변만 평행하면 사다리꼴이라고 부를 수 있어요. 그래서 사다리꼴은 다리(양옆 변)의 길이가 서로 달라도, 각도가 어떻든 상관없어요. 평행사변형이 "두 쌍 다 평행"이라는 엄격한 조건이라면, 사다리꼴은 "한 쌍만 평행"이라는 훨씬 널널한 조건인 셈이에요.
이렇게 보면 사각형들 사이에는 포함 관계가 있어요. 정사각형은 마름모에도, 직사각형에도 속하고, 마름모와 직사각형은 둘 다 평행사변형에 속해요. 마치 동물 분류에서 "포유류 안에 개가 있고, 개 안에 진돗개가 있는" 것처럼, 조건이 늘어날수록 더 좁고 특별한 도형이 되는 거예요. 도형 문제를 풀 때 "이 사각형이 정확히 어떤 종류인지"를 먼저 파악하면, 그 도형이 가진 모든 성질을 한꺼번에 쓸 수 있어서 훨씬 유리해요.
저희 체험 페이지에서는 슬라이더로 각 도형의 모양을 자유롭게 바꿔가며, 같은 길이의 변과 같은 크기의 각이 색깔로 표시되는 걸 확인할 수 있어요. 아무리 모양을 바꿔도 표시된 성질들은 절대 무너지지 않는다는 걸 직접 눈으로 확인해보세요.