삼각형의 넓이 공식은 (밑변 × 높이) ÷ 2예요. 이 공식을 보면 재미있는 사실 하나가 눈에 들어와요 — 공식에 들어가는 건 딱 두 숫자, 밑변과 높이뿐이라는 거예요. 세 변의 길이나 각의 크기는 공식 어디에도 안 나와요. 그렇다면 밑변과 높이만 똑같다면, 삼각형의 모양이 완전히 달라져도 넓이는 항상 같아야 하지 않을까요? 정말로 그래요.
이걸 그림으로 확인해볼게요. 바닥에 길이 6인 밑변 AB를 고정해두고, 그 위쪽으로 4만큼 떨어진 지점(바닥과 평행한 선)을 따라 꼭짓점 C를 이리저리 옮겨본다고 생각해보세요. C가 밑변 한가운데 위에 있으면 예각삼각형이 되고, 한쪽 끝 바로 위에 있으면 직각삼각형이 되고, 밑변보다 훨씬 옆으로 벗어나면 둔각삼각형이 돼요. 생김새는 완전히 다른데, 밑변(6)과 높이(4)는 한 번도 안 바뀌었으니 넓이는 항상 (6×4)÷2=12로 똑같아요.
둔각삼각형에서는 조금 헷갈리는 부분이 있어요. 꼭짓점 C가 밑변 AB의 옆으로 많이 벗어나면, C에서 수직으로 내린 선(높이)이 밑변 AB "선분" 위가 아니라 그 연장선 위에 떨어져요. 그래도 상관없어요 — 높이는 "밑변을 담고 있는 직선까지의 수직 거리"를 재는 거지, 반드시 선분 안에 떨어져야 하는 게 아니거든요. 이 점만 기억하면 둔각삼각형의 넓이도 똑같은 공식으로 문제없이 구할 수 있어요.
이 원리를 실제로 확인하는 또 다른 방법은 좌표를 이용한 신발끈 공식이에요. 세 꼭짓점의 좌표를 알면 넓이 = |x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)| ÷ 2로 직접 계산할 수 있어요. 이 공식은 삼각형이 예각이든 둔각이든 전혀 상관하지 않고 항상 정확한 넓이를 내놓는데, 이 값이 (밑변×높이)÷2로 구한 값과 항상 똑같다는 걸 확인하면 "모양이 달라도 넓이는 같다"는 사실을 다시 한번 검증할 수 있어요.
이 성질은 여러 증명에서 핵심 도구로 쓰여요. 예를 들어 평행사변형의 넓이가 왜 "밑변×높이"인지 증명할 때, 평행사변형을 대각선으로 잘라 만든 두 삼각형이 각각 같은 밑변·높이를 가진다는 사실에서 출발해요. 또 두 삼각형의 넓이가 같다는 걸 보여야 할 때, 변의 길이를 일일이 재는 대신 "밑변과 높이가 같다"는 것만 보이면 훨씬 빠르게 결론을 낼 수 있어요.
아이들과 공부할 때는 실제로 종이에 평행한 두 선을 긋고, 그 사이에 밑변을 고정한 채 꼭짓점만 이리저리 옮겨가며 여러 모양의 삼각형을 그려보게 하는 게 좋아요. 모양이 확 달라 보이는데 넓이가 똑같다는 사실이 처음엔 의아하게 느껴지지만, 직접 넓이를 계산해서 확인해보면 확실하게 이해돼요. 저희 체험 페이지에서는 꼭짓점을 슬라이더로 옮기며 예각·직각·둔각삼각형을 자유롭게 만들어보고, 두 가지 계산법으로 넓이가 항상 똑같이 나오는지 직접 확인할 수 있어요.