욕실 타일, 벌집, 거북이 등딱지의 공통점은 뭘까요? 전부 하나의 도형이 겹치거나 틈이 생기지 않고 평면을 빈틈없이 채우고 있다는 거예요. 이런 규칙적인 배열을 '테셀레이션(쪽매맞춤)'이라고 불러요. 그런데 신기하게도, 정다각형 중에서 딱 세 가지(정삼각형, 정사각형, 정육각형)만 그 도형 하나만으로 평면을 완벽하게 채울 수 있어요. 정오각형이나 정칠각형으로는 아무리 애써도 빈틈이 남아요.
이유는 '각도'에 숨어 있어요. 어떤 도형 여러 개가 한 점에 모여 평면을 채우려면, 그 점 주위에 모인 각도의 합이 정확히 360°가 되어야 해요. 정삼각형의 한 내각은 60°인데, 60°×6=360°이니 정삼각형 6개가 한 점에 모이면 딱 맞아떨어져요. 정사각형은 내각이 90°라서 90°×4=360°, 4개가 모이면 완벽하게 채워지고요. 정육각형은 내각이 120°라서 120°×3=360°, 3개가 모이면 딱 맞아요. 이 세 가지 경우만 정수 개로 360°를 정확히 나눠떨어지게 만들 수 있어서, 정다각형 중 이 셋만 '단독으로' 평면을 채울 수 있는 거예요.
정오각형은 왜 안 될까요? 정오각형의 내각은 108°예요. 360÷108을 계산하면 약 3.33이 나오는데, 정수가 아니에요. 3개를 모으면 324°가 되어 36°의 틈이 남고, 4개를 모으면 432°가 되어 오히려 72°만큼 겹쳐버려요. 그래서 정오각형 하나만으로는 절대 평면을 빈틈없이 채울 수 없어요. 실제로 축구공을 자세히 보면 정오각형과 정육각형이 섞여 있는데, 정오각형 혼자서는 평면(또는 구면)을 채울 수 없어서 정육각형과 함께 써야만 축구공 모양이 완성되는 거예요.
벌들이 벌집을 정육각형 모양으로 짓는 것도 우연이 아니에요. 정삼각형, 정사각형, 정육각형 중에서 같은 재료(같은 둘레)로 가장 넓은 면적을 만들 수 있는 게 정육각형이라는 사실이 수학적으로 증명되어 있어요. 벌들은 최소한의 밀랍으로 최대한 많은 꿀을 저장하려고 자연스럽게 가장 효율적인 모양인 정육각형을 선택하도록 진화한 셈이에요. 화가 에셔(M.C. Escher)는 이 테셀레이션 원리를 이용해서 새와 물고기, 도마뱀 같은 복잡한 모양들이 빈틈없이 맞물리는 신비로운 작품들을 만든 것으로 유명해요.
아이들과 공부할 때는 정다각형 모양 종이 조각을 여러 개 잘라서 직접 평면 위에 늘어놓아 보게 하는 게 가장 확실한 방법이에요. 정삼각형, 정사각형, 정육각형 조각은 빈틈없이 잘 맞춰지는데, 정오각형이나 정칠각형 조각은 아무리 이리저리 돌려봐도 자꾸 틈이 남거나 겹친다는 걸 손으로 직접 확인하면, "왜 이 세 가지만 되는지" 공식보다 훨씬 확실하게 이해하게 돼요. 정다각형 하나로는 안 되지만 두 가지 이상의 도형을 섞으면 채울 수 있는 경우(정사각형+정팔각형 등)를 함께 찾아보는 것도 좋은 심화 활동이에요.
저희 체험 페이지에서는 정다각형을 하나 골라서 한 꼭짓점에 여러 개를 모아보고, 각도의 합이 정확히 360°가 되는지 눈으로 확인할 수 있어요. 딱 맞아떨어지지 않는 도형을 고르면 남는 틈의 각도까지 표시되니, 정삼각형·정사각형·정육각형이 왜 특별한지 직접 비교해보세요.