구의 부피 공식 (4/3)πr³은 학교에서 그냥 외우고 넘어가는 경우가 많아요. 그런데 왜 하필 4/3일까요? 3분의 4도 아니고, 그냥 πr³도 아니고요. 이 공식을 처음 증명한 사람은 고대 그리스 수학자 아르키메데스였는데, 그가 사용한 방법이 무척 영리해서 지금도 그대로 눈으로 확인해볼 수 있어요.
아르키메데스의 아이디어는 구를 직접 다루는 대신, 구와 부피가 똑같다는 걸 미리 알 수 있는 다른 도형을 만들어서 비교하는 거예요. 반지름이 r인 반구(공을 반으로 자른 모양) 하나와, 반지름과 높이가 똑같이 r인 원기둥에서 반지름 r인 원뿔을 파낸 도형 하나를 나란히 놓아요.
이 두 도형은 생김새가 완전히 달라 보이지만, 신기하게도 바닥에서 같은 높이만큼 올라가서 수평으로 잘라보면, 잘린 단면의 넓이가 항상 똑같아요. 반구를 높이 h에서 자르면 반지름이 √(r²−h²)인 원이 나오는데, 그 넓이는 π(r²−h²)이에요. 원기둥에서 원뿔을 파낸 도형을 같은 높이 h에서 자르면, 바깥 반지름 r, 안쪽 반지름 h인 도넛 모양(고리)이 나오는데, 그 넓이는 πr²−πh²이에요. 괄호를 풀어보면 두 식은 완전히 같은 식이에요: π(r²−h²) = πr²−πh².
여기서 카발리에리의 원리라는 도구가 등장해요. 두 입체를 바닥부터 같은 높이마다 계속 잘라봤을 때, 모든 높이에서 단면의 넓이가 똑같다면, 두 입체 전체의 부피도 반드시 같다는 원리예요. 마치 종이를 아주 얇게 잘라 쌓아 올린 두 무더기가 있는데, 어느 층을 봐도 종이 한 장의 넓이가 똑같다면, 종이를 몇 장을 쌓았든 두 무더기의 전체 부피(높이 × 넓이의 합)도 같을 수밖에 없는 것과 같은 이치예요.
그래서 반구의 부피는 원기둥의 부피에서 원뿔의 부피를 뺀 것과 같아요. 원기둥의 부피는 πr²×r = πr³이고, 원뿔의 부피는 그 1/3인 (1/3)πr³이니까, 반구의 부피는 πr³ − (1/3)πr³ = (2/3)πr³이 돼요. 구 전체는 반구 2개를 위아래로 합친 것이니, 구의 부피는 2 × (2/3)πr³ = (4/3)πr³이 되는 거예요. 4/3이라는 숫자가 어디서 왔는지 이제 완전히 설명됐죠?
아르키메데스는 이 증명을 무척 자랑스러워해서, 자신이 죽으면 무덤에 원기둥 안에 꼭 맞게 들어간 구 그림을 새겨달라고 부탁했다고 전해져요. 원기둥에 꼭 맞는 구는 원기둥 부피의 정확히 2/3를 차지하는데, 이 사실이 그가 평생 발견한 것 중 가장 아름다운 결과라고 여겼기 때문이에요.
저희 체험 페이지에서는 반지름을 슬라이더로 바꿔가며 두 입체의 부피가 항상 똑같이 계산되는 걸 숫자로 확인할 수 있고, 자르는 높이를 슬라이더로 움직이며 원의 넓이와 고리의 넓이가 어떤 높이에서든 정확히 일치한다는 것도 직접 확인할 수 있어요.