집합은 "범위가 분명한 것들의 모임"이에요. "2의 배수", "짝수", "우리 반 학생" 처럼 어떤 대상이 그 조건에 속하는지 아닌지가 명확하게 판별되면 집합이 될 수 있어요. 두 집합 A, B가 있을 때 이 둘을 조합하는 방법에는 몇 가지가 있는데, 벤다이어그램(두 원이 겹치는 그림)으로 그려보면 훨씬 직관적으로 이해돼요.
합집합 A∪B는 A 또는 B에 속하는 모든 것을 모은 거예요(겹치는 부분도 한 번만 세요). 교집합 A∩B는 A와 B에 동시에 속하는, 즉 겹치는 부분만이에요. 차집합 A−B는 A에는 있지만 B에는 없는 것, 여집합 Aᶜ는 전체집합에서 A가 아닌 나머지 전부예요.
집합을 셀 때 특히 중요한 공식이 있어요. |A∪B| = |A| + |B| − |A∩B|. A의 원소 개수와 B의 원소 개수를 그냥 더하면, 겹치는 부분(교집합)이 두 번 세어져요. 그래서 한 번 빼줘야 정확한 합집합의 크기가 나와요. 이 원리는 나중에 경우의 수를 셀 때 "합의 법칙"의 기초가 되는 아주 중요한 아이디어예요.
명제는 참인지 거짓인지가 명확하게 판별되는 문장이에요. "3은 소수이다"는 참인 명제고, "이 문장은 재미있다"는 사람마다 판단이 달라서 명제가 아니에요. "p이면 q이다" 꼴의 명제(원명제)가 있으면, 여기서 파생되는 세 가지 명제가 있어요. p와 q의 순서를 바꾼 역(q이면 p), 둘 다 부정한 이(~p이면 ~q), 순서도 바꾸고 부정도 한 대우(~q이면 ~p)예요.
여기서 아주 중요한 사실이 하나 있어요. 원명제와 대우는 항상 같은 참·거짓을 가져요. "짝수이면 정수이다"가 참이라면, 그 대우인 "정수가 아니면 짝수가 아니다"도 반드시 참이에요. 반면 역과 이는 원명제와 다른 진리값을 가질 수 있어요(다만 역과 이끼리는 서로 대우 관계라서, 역과 이는 항상 같은 진리값을 가져요). 이 성질 덕분에, 원명제를 직접 증명하기 어려울 때는 대신 대우가 참임을 증명해도 충분해요. 이걸 대우 증명법이라고 불러요.
아이들과 공부할 때는 "역은 항상 참일까?"라는 질문으로 시작하는 게 좋아요. "비가 오면 땅이 젖는다"는 참이지만, 그 역인 "땅이 젖으면 비가 온 것이다"는 참이 아닐 수 있어요(누가 물을 뿌렸을 수도 있으니까요). 이렇게 일상 속 예시로 원명제와 역이 다르다는 걸 먼저 느끼게 한 다음, 수학적 예시로 넘어가면 훨씬 자연스럽게 받아들여요. 저희 체험 페이지에서는 숫자 조건을 직접 골라 벤다이어그램에서 집합 연산을 확인하고, 여러 명제 예시에서 원명제·역·이·대우의 참·거짓을 한눈에 비교해볼 수 있어요.