수열 aₙ = 1/n을 생각해봐요. a₁=1, a₅=0.2, a₁₀=0.1, a₁₀₀=0.01, a₁₀₀₀=0.001… n이 커질수록 값은 점점 작아지면서 0에 가까워집니다. 물론 0이 되지는 않아요(1을 아무리 큰 수로 나눠도 정확히 0은 아니니까요). 하지만 n을 원하는 만큼 얼마든지 크게 키우면, aₙ은 0에서 얼마든지 가까워질 수 있어요. 이럴 때 "수열 aₙ은 0으로 수렴한다"고 말하고, limn→∞ aₙ = 0이라고 써요.
모든 수열이 이렇게 한 값에 정착하는 건 아니에요. aₙ = n을 보면 1, 2, 3, 4…로 그냥 계속 커지기만 하죠. 어떤 값에도 다가가지 않고 한없이 커지기만 하니, 이 수열은 발산한다고 말해요(정확히는 "양의 무한대로 발산한다"). 발산에는 또 다른 유형도 있어요. aₙ = (−1)ⁿ을 보면 −1, 1, −1, 1…로 두 값 사이를 영원히 오갈 뿐, 한 값에 정착하지 못해요. 커지지도 않는데 수렴도 하지 않는 이런 경우를 진동한다고 말해요.
수렴하는지 아닌지 판단할 때 분수 형태의 수열은 요령이 있어요. aₙ = (2n+1)/(n+3) 같은 식은, 분자와 분모를 각각 n으로 나눠서 (2+1/n)/(1+3/n) 형태로 바꿔볼 수 있어요. n이 한없이 커지면 1/n과 3/n은 둘 다 0에 가까워지니, 결국 분수는 2/1 = 2에 가까워집니다. 이렇게 분자·분모의 최고차항 계수만 비교하면(여기선 2와 1) 극한값을 빠르게 예상할 수 있어요.
수열의 극한은 이후에 배우는 함수의 극한과 사실상 같은 개념이에요. 차이는 딱 하나, 수열은 n이 자연수(1, 2, 3…)만 가진다는 점뿐이에요. 함수의 극한에서는 x가 실수 전체를 매끄럽게 움직이며 어떤 값에 다가가는 걸 다루는데, 수열의 극한은 그중에서 정수 지점만 콕콕 짚어보는 특별한 경우라고 생각하면 됩니다. 그래서 수열의 극한에서 익힌 수렴·발산의 감각은 함수의 극한을 배울 때도 그대로 이어져요.
저희 체험 페이지에서는 여러 수열 중 하나를 골라 n을 슬라이더로 크게 키워보면서, 값이 어떤 수에 다가가는지(수렴) 아니면 계속 커지거나 오락가락하는지(발산)를 표로 직접 비교할 수 있어요. n=1000까지 키워보면서 값이 정말 안정되는지 확인해보세요.