1/2을 소수로 바꾸면 0.5로 딱 떨어져요. 그런데 1/3을 소수로 바꾸면 0.333333...으로 3이 끝없이 반복돼요. 같은 나눗셈인데 왜 하나는 끝나고 하나는 끝나지 않을까요? 사실 이건 순전히 운이 아니라, 분모만 보고도 미리 알 수 있는 규칙이 있어요.
먼저 용어부터 정리해볼게요. 0.5처럼 소수점 뒤에 숫자가 정해진 개수만 있고 끝나는 소수를 유한소수라고 해요. 0.333...처럼 소수점 아래 어떤 숫자(또는 숫자 묶음)가 끝없이 되풀이되는 소수를 순환소수라고 하고요. 반복되는 부분을 '순환마디'라고 부르는데, 1/3은 '3'이 순환마디고, 1/7은 '142857'이라는 여섯 자리 숫자 묶음 전체가 순환마디예요.
분수를 소수로 바꾸는 과정은 결국 나눗셈이에요. 그런데 나눗셈을 계속하다 보면 나머지가 나올 수 있는 경우의 수는 분모보다 작은 자연수(0부터 분모-1까지)로 정해져 있어요. 그러니까 나눗셈을 분모만큼 반복하면, 나머지가 언젠가 이전에 나왔던 나머지와 똑같이 나오게 돼요. 나머지가 같아지는 순간, 그다음에 나오는 몫도 똑같이 반복될 수밖에 없어요. 이게 바로 순환소수가 생기는 이유예요.
그럼 언제 나머지가 0이 되어서(=나눗셈이 끝나서) 유한소수가 될까요? 분수를 기약분수(더 이상 약분되지 않는 분수)로 만들고 분모를 소인수분해했을 때, 소인수가 2와 5뿐이라면 유한소수가 돼요. 이유는 우리가 쓰는 숫자 체계(10진법)의 10이 2×5이기 때문이에요. 분모가 2나 5의 거듭제곱으로만 이루어져 있으면, 분모와 분자에 적당한 수를 곱해서 분모를 10, 100, 1000... 같은 10의 거듭제곱으로 만들 수 있고, 그러면 나눗셈이 정확히 떨어져요. 반대로 분모에 3, 7, 11처럼 2와 5가 아닌 소인수가 하나라도 있으면, 아무리 곱해도 분모를 10의 거듭제곱으로 만들 수 없어서 순환소수가 돼요.
예를 들어 5/6을 볼게요. 6을 소인수분해하면 2×3이에요. 2뿐 아니라 3도 있으니까 순환소수가 될 거라고 미리 예상할 수 있어요. 실제로 계산해보면 5/6 = 0.8333...으로, '3'이 반복되는 순환소수가 맞아요. 반대로 7/8은 어떨까요? 8 = 2×2×2로 소인수가 2뿐이니 유한소수일 거예요. 실제로 계산하면 7/8 = 0.875로 정확히 딱 떨어져요.
이 규칙을 알면 실제로 나눗셈을 끝까지 하지 않고도 "이 분수는 유한소수가 될까, 순환소수가 될까?"를 분모만 보고 미리 판단할 수 있어요. 시험에서 나눗셈을 오래 붙잡고 있을 필요 없이, 분모를 소인수분해하는 것만으로 답을 예측할 수 있는 거예요. 그리고 유한소수든 순환소수든, 분수로 나타낼 수 있는 모든 수는 '유리수'라는 하나의 큰 범주에 속해요 — 유리수라는 이름 자체가 "비율(ratio)로 나타낼 수 있는 수"라는 뜻이에요.
저희 체험 페이지에서는 분수가 유한소수일지 순환소수일지 먼저 예상해본 다음, 실제 나눗셈 과정을 한 자리씩 확인하면서 순환마디가 어디서부터 시작되는지 직접 눈으로 볼 수 있어요. 분모의 소인수분해 결과도 함께 보여줘서, 규칙이 실제로 맞아떨어지는지 확인해볼 수 있어요.