이차방정식 x²+bx+c=0을 풀면 두 근을 구할 수 있어요. 그런데 등호(=) 대신 부등호(>, <, ≥, ≤)가 붙어 있다면 어떻게 풀어야 할까요? 이런 식을 이차부등식이라고 해요. 얼핏 더 어려워 보이지만, 사실 이차방정식을 풀 줄 안다면 그래프 하나만 떠올려도 금방 풀 수 있어요.
이차부등식을 풀 때 가장 중요한 도구는 그래프예요. y=x²+bx+c라는 이차함수를 하나 떠올려보세요. 이 그래프는 U자 또는 뒤집힌 U자 모양의 매끄러운 곡선, 포물선이었죠. 이차부등식 x²+bx+c > 0의 해는 사실 "이 포물선이 x축보다 위에 있는 x값이 뭘까?"라는 질문과 똑같은 거예요. 반대로 < 0이면 포물선이 x축보다 아래에 있는 x값을 찾으면 되고요.
그럼 포물선이 어디서 x축보다 위이고 어디서 아래인지는 어떻게 알 수 있을까요? 바로 이차방정식의 두 근이 힌트가 돼요. 두 근은 포물선이 정확히 x축과 만나는 지점, 즉 부호가 바뀌는 경계선이거든요. 예를 들어 x²−x−6=0을 인수분해하면 (x+2)(x−3)=0이 되고, 두 근은 x=−2와 x=3이에요. 이 두 점을 경계로 그래프는 세 구간으로 나뉘어요: x<−2인 구간, −2<x<3인 구간, x>3인 구간.
여기서 그래프가 위로 볼록한지 아래로 볼록한지가 결정적인 역할을 해요. a>0이라 아래로 볼록(∪ 모양)이면, 포물선은 두 근 사이에서는 아래(음수)로 움푹 들어갔다가 두 근 바깥쪽에서는 다시 위(양수)로 올라가요. 그래서 x²−x−6>0의 해는 두 근의 바깥쪽인 x<−2 또는 x>3이 되고, x²−x−6<0의 해는 두 근 사이인 −2<x<3이 되는 거예요.
만약 a<0이라 위로 볼록(∩ 모양)인 그래프라면 정반대가 돼요. 두 근 사이에서 그래프가 x축보다 위에 있고, 바깥쪽에서는 아래에 있죠. 이차부등식을 풀 때 실수하기 쉬운 지점이 바로 여기예요 — 계수 a의 부호를 확인하지 않고 무작정 "바깥쪽이 해"라고 외워버리면, a가 음수인 문제에서 틀리게 되거든요.
부등호에 등호가 포함되어 있는지(≥, ≤)도 놓치면 안 돼요. 등호가 없는 순수한 부등호(>, <)라면 경계가 되는 두 근 자체는 해에 포함되지 않아요. 그 지점에서는 값이 정확히 0이 되니까요. 반면 ≥나 ≤처럼 등호가 붙어 있으면 두 근도 해에 포함시켜야 해요.
두 근이 하나로 겹치는 경우(중근)도 있어요. 이때는 포물선이 x축에 살짝 닿기만 하고 다시 올라가거나 내려가기 때문에, 그 접점 한 곳을 제외하면 나머지 모든 x에서 부호가 똑같아요. 예를 들어 (x−1)² > 0의 해는 "x=1만 제외한 모든 실수"가 되고, (x−1)² < 0을 만족하는 x는 아예 없어요 — 어떤 수를 제곱해도 음수가 될 수는 없으니까요.
정리하면, 이차부등식을 풀 때는 ① 이차방정식으로 두 근을 구하고, ② 그래프가 위로 볼록인지 아래로 볼록인지 확인한 다음, ③ 부등호 방향에 맞는 구간을 고르면 돼요. 공식을 억지로 외우기보다 포물선을 한 번 그려보는 습관을 들이면 훨씬 헷갈리지 않아요.
저희 체험 페이지에서는 슬라이더로 두 근과 볼록 방향을 바꿔가며 해가 되는 구간이 그래프 위에서 어떻게 달라지는지 직접 확인할 수 있고, 퀴즈로 이차부등식을 직접 풀어보는 연습도 할 수 있어요.