소수는 1과 자기 자신으로만 나누어지는 수예요. 2, 3, 5, 7, 11... 규칙이 없어 보이는데도, 자세히 들여다보면 신기한 패턴들이 곳곳에 숨어 있어요. 그런데 이 패턴 중 몇 개는 "직접 계산해보면 늘 맞는 것 같은데" 아무리 유명한 수학자가 덤벼도 아직 증명하지 못했어요. 심지어 어떤 건 무려 수백 년째 미해결이에요.
첫 번째는 쌍둥이 소수예요. (3,5), (11,13), (17,19)처럼 차이가 딱 2인 소수 쌍을 말해요. 숫자가 커질수록 소수는 점점 드물어지는데, 신기하게도 쌍둥이 소수는 계속 발견돼요. 그렇다면 "쌍둥이 소수가 무한히 많을까?"라는 질문이 자연스럽게 떠오르죠. 대부분의 수학자는 "그렇다"고 믿지만, 아직 아무도 증명하지 못했어요. 이걸 쌍둥이 소수 추측이라고 불러요.
두 번째는 골드바흐의 추측이에요. "4보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다"는 주장인데, 예를 들어 28 = 5 + 23, 100 = 3 + 97처럼요. 1742년 골드바흐가 오일러에게 편지로 처음 이 생각을 전한 뒤로, 컴퓨터로 4×10¹⁸(400경)이 넘는 짝수까지 전부 확인했지만 예외는 단 하나도 나오지 않았어요. 그런데도 "모든 짝수에 대해" 성립한다는 증명은 아직 없어요.
세 번째는 페르마 소수예요. 2를 2ⁿ번 곱한 뒤 1을 더한 수(2^(2ⁿ)+1)를 페르마 수라고 하는데, 17세기 수학자 페르마는 이 수들이 항상 소수일 거라고 예상했어요. 실제로 n=0,1,2,3,4일 때는 3, 5, 17, 257, 65537로 전부 소수였거든요. 그런데 1732년 오일러가 n=5일 때의 수 4,294,967,297이 641 × 6,700,417로 나누어떨어진다는 걸 찾아내면서 페르마의 예상이 깨졌어요. 재미있는 건 이 문제는 앞의 둘과 정반대 방향으로 미해결이라는 점이에요. 쌍둥이 소수나 골드바흐는 "무한히 많다"는 쪽이 미해결이지만, 페르마 소수는 n=5 이후 지금까지 확인한 수천 개의 후보 중 소수가 단 하나도 안 나왔는데도 "6번째 페르마 소수가 정말 없다"는 것 역시 증명되지 않았어요.
이 세 문제의 공통점은, 아무리 많은 예로 확인해도 그게 "모든 경우에 성립한다"는 증명이 되지는 않는다는 점이에요. 짝수 400경 개를 확인했다고 해서 400경 1번째 짝수도 반드시 성립한다고 보장할 수는 없거든요. 수학에서는 단 하나의 반례만 나와도 추측 전체가 무너지기 때문에, 아무리 압도적인 증거가 쌓여도 엄밀한 증명 전에는 "추측"이라는 딱지를 떼지 못해요.
저희 체험 페이지에서는 쌍둥이 소수 쌍을 직접 골라보고, 슬라이더로 짝수를 바꿔가며 골드바흐 분해 방법이 몇 가지인지 확인하고, n값을 눌러가며 페르마 수가 소수인지 아닌지 직접 계산해볼 수 있어요. 눈으로 직접 확인하다 보면 "왜 수학자들이 몇백 년째 이 문제에 매달리는지" 감이 잡힐 거예요.