네 자리 숫자를 아무거나 하나 골라보세요. 단, 1111이나 2222처럼 모든 자리가 같은 숫자만 아니면 돼요. 이제 그 숫자의 네 자리를 큰 순서로 배열한 수에서, 작은 순서로 배열한 수를 빼보세요. 그리고 나온 결과로 같은 계산을 계속 반복해보세요. 신기하게도, 어떤 숫자로 시작하든 최대 7번 안에 반드시 6174라는 수에 도착하고, 그 뒤로는 계속 6174만 나와요. 이 수를 발견자의 이름을 따 카프레카 상수라고 불러요.
예를 들어 3524로 시작해볼게요. 큰 순서 5432, 작은 순서 2345, 그 차는 5432−2345=3087이에요. 3087로 다시 반복하면 큰 순서 8730, 작은 순서 0378(=378), 차는 8730−378=8352예요. 8352를 또 반복하면 큰 순서 8532, 작은 순서 2358, 차는 8532−2358=6174! 단 세 번 만에 도착했어요. 이제 6174로 같은 계산을 해도 7641−1467=6174가 나와서, 더 이상 바뀌지 않는 고정점이 돼요.
카프레카 상수처럼, 계산을 반복할수록 패턴이 드러나는 수들이 또 있어요. 숫자를 점으로 배열했을 때 도형 모양이 되는 도형수가 대표적이에요. 점을 1개, 2개, 3개... 한 줄씩 늘려가며 삼각형으로 쌓으면 1, 3, 6, 10, 15...라는 삼각수가 나오고(공식은 n(n+1)/2), 가로세로 n개씩 정사각형으로 쌓으면 1, 4, 9, 16, 25...라는 사각수(=제곱수, n²)가 나와요. 점을 오각형 모양으로 층층이 쌓으면 1, 5, 12, 22, 35...라는 오각수(n(3n−1)/2)가 나오죠. 숫자를 눈에 보이는 도형으로 바꿔서 생각하면, 공식이 왜 그런 모양인지 훨씬 직관적으로 이해할 수 있어요.
세 번째 신기한 수는 메르센 수예요. 2를 p번 곱한 뒤 1을 뺀 수, 즉 2ᵖ−1 꼴의 수를 말해요. p=2면 3, p=3이면 7, p=5면 31처럼 소수가 나오기도 하지만, 항상 그런 건 아니에요. 예를 들어 p=11(소수)일 때도 2¹¹−1=2047=23×89로, 소수가 아니에요. p가 소수라고 해서 2ᵖ−1도 항상 소수인 건 아니라는 뜻이에요. 2ᵖ−1이 소수일 때만 특별히 메르센 소수라고 불러요.
메르센 소수가 특별한 진짜 이유는 완전수와의 관계에 있어요. 완전수란 자기 자신을 제외한 약수를 모두 더하면 자기 자신이 되는 수예요(예: 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14). 고대 그리스의 유클리드와 훗날 오일러가 증명한 정리에 따르면, 2ᵖ−1이 메르센 소수일 때마다 2^(p−1)×(2ᵖ−1)은 반드시 완전수가 돼요. 예를 들어 p=2일 때 2¹×3=6, p=3일 때 2²×7=28로, 정확히 맞아떨어져요. 반대로 짝수인 완전수는 전부 이 형태로만 만들어진다는 것도 증명돼 있어요.
메르센 소수는 아주 귀한 존재예요. 지금까지 인류가 찾아낸 메르센 소수는 겨우 52개뿐이라서, 컴퓨터를 총동원해 새로운 걸 하나 발견할 때마다 뉴스가 될 정도예요. 저희 체험 페이지에서는 직접 네 자리 숫자를 골라 카프레카 계산을 몇 단계 만에 6174에 도착하는지 확인해보고, 삼각수·사각수·오각수가 점으로 쌓이는 모습을 슬라이더로 늘려보고, p값을 바꿔가며 어떤 메르센 수가 소수이고 어떤 완전수와 연결되는지 직접 계산해볼 수 있어요.