미분은 "기울기(변화율)"를 구하고, 적분은 "넓이(누적량)"를 구해요. 완전히 다른 질문처럼 보이는데, 놀랍게도 이 둘은 서로 정확히 반대되는 연산이에요. 이 사실을 알려주는 게 미적분학에서 가장 중요한 정리 중 하나인 미적분의 기본정리(FTC)예요.
이걸 이해하려면 넓이 함수라는 새로운 개념이 필요해요. f(t)라는 함수가 있을 때, A(x) = ∫₀ˣ f(t)dt는 "0부터 x까지 f 아래에 쌓인 넓이"를 x에 대한 함수로 나타낸 거예요. x가 커질수록 더 많은 넓이가 쌓이니까, A(x)도 커져요. 그런데 A(x)가 얼마나 빨리 커지는지 살펴보면 신기한 사실이 드러나요 — A(x)의 순간변화율(즉 A'(x))이 정확히 원래 함수 f(x)와 같아요!
왜 이렇게 될까요? x를 아주 조금(h만큼) 늘렸을 때 넓이가 얼마나 늘어나는지 생각해보면 실마리가 보여요. 새로 늘어난 넓이 조각은 폭이 h이고 높이가 대략 f(x)인 아주 얇은 직사각형과 비슷해요. 그러니 늘어난 넓이는 대략 f(x)×h이고, 넓이의 변화율(변화량÷h)은 f(x)에 가까워져요. h를 0으로 보내는 극한을 취하면 이 근사가 정확한 등식이 되고, A'(x)=f(x)라는 사실이 증명돼요. 미분과 적분이 만나는 지점이 바로 여기예요.
이 사실 덕분에 실용적으로 아주 편리해진 게 있어요. 어떤 함수 f(x)를 미분해서 f(x)가 되는 함수 F(x)를 부정적분(원시함수)이라고 하는데, F(x)와 위에서 말한 넓이 함수 A(x)는 상수(C)만큼 차이 나는 "형제"예요. 그래서 정적분 값을 구할 때, 매번 구분구적법으로 극한을 계산하는 대신 부정적분 F(x)를 찾아서 F(b)−F(a)만 계산하면 끝나요. 이게 정적분 계산을 훨씬 쉽게 만들어주는 핵심 지름길이에요.
또 하나 기억할 점은, 부정적분은 하나가 아니라 여러 개라는 거예요. f(x)=2x를 미분해서 만드는 함수는 x²도 있고, x²+5도 있고, x²−3도 있어요. 상수를 미분하면 항상 0이 되어 사라지기 때문에, 어떤 상수 C를 더해도 미분 결과는 똑같이 2x가 나와요. 그래서 부정적분은 F(x)+C 꼴로, 위아래로 평행이동한 곡선들의 가족 전체를 나타내요.
아이들과 공부할 때는 "넓이가 쌓이는 속도"라는 비유가 도움이 돼요. 물탱크에 물이 차오르는 속도(유입량)를 안다면, 그 속도 그래프의 넓이가 곧 탱크에 쌓인 물의 양이에요. 반대로 물의 양이 시간에 따라 어떻게 변하는지 안다면, 그걸 미분해서 순간 유입 속도를 구할 수 있어요. 저희 체험 페이지에서는 x를 슬라이더로 움직이며 넓이가 쌓이는 모습과 그 접선 기울기가 원래 함수와 일치하는 걸 확인하고, 상수 C가 다른 부정적분들이 어떻게 평행한 곡선 가족을 이루는지도 확인할 수 있어요.