타원이 두 초점까지 거리의 합이 일정한 점들의 모임이라면, 쌍곡선은 두 초점까지 거리의 차가 일정한 점들의 모임이에요. 평면 위에 두 점 F₁, F₂(초점)를 정해놓고, 이 두 점까지의 거리 차이가 항상 똑같은 점들만 모으면 두 갈래로 갈라진 곡선이 나오는데, 이게 바로 쌍곡선이에요.
이 정의를 식으로 옮기면 x²/a² − y²/b² = 1이라는 낯익은 방정식이 나와요. 여기서 a는 원점에서 꼭짓점까지의 거리, c는 원점에서 초점까지의 거리이고, b는 c² = a² + b² 관계로 정해져요(타원의 c² = a² − b²와 부호가 반대라는 점이 헷갈리기 쉬운 부분이에요). 그리고 두 초점까지 거리의 차는 정확히 2a로 일정해요. 실험실 페이지의 "두 초점 정의" 탭에서 a, c, 점의 위치를 슬라이더로 바꿔가며 이 차이가 항상 2a로 유지되는지 직접 확인할 수 있어요.
쌍곡선에는 타원이나 포물선에는 없는 독특한 성질이 하나 있어요. 원점에서 아주 멀리 떨어진 곳에서 보면, 쌍곡선의 두 가지가 원점을 지나는 두 직선 y = ±(b/a)x에 점점 더 가까워진다는 거예요. 이 두 직선을 점근선이라고 불러요. 쌍곡선은 점근선에 끝없이 다가가지만 절대로 만나지는 않아요 — 아무리 멀리 가도 둘 사이의 간격이 완전히 0이 되지는 않거든요. 실험실의 "점근선" 탭에서 a, b 값을 바꿔보면, b가 a보다 커질수록 점근선이 더 가파르게 서고 쌍곡선도 더 빨리 벌어지는 걸 볼 수 있어요.
쌍곡선의 "두 초점까지 거리의 차가 일정하다"는 성질은 실제로 위치를 찾는 기술에도 쓰여요. 예전에 배를 타고 항해할 때 쓰던 로란(LORAN) 항법이 대표적이에요. 두 개의 고정 송신탑에서 동시에 신호를 보내면, 배는 두 신호가 도착하는 시간 차이를 측정해요. 시간 차이를 알면 두 송신탑까지 거리의 차이도 알 수 있는데, 거리 차이가 일정한 점들은 정확히 쌍곡선을 그려요. 그러니까 배는 "이 쌍곡선 위 어딘가에 있다"는 걸 알 수 있는 거예요. 송신탑 쌍을 하나 더 두면 또 다른 쌍곡선이 생기고, 두 쌍곡선이 만나는 지점이 배의 정확한 위치가 돼요. GPS도 비슷한 원리를 써요. 여러 위성에서 신호가 도착하는 시간 차이를 비교해서 여러 개의 쌍곡선(정확히는 3차원이라 쌍곡면)을 얻고, 그 교점으로 내 위치를 계산하는 거예요.
정리하면, 쌍곡선은 "두 초점까지 거리의 차가 일정하다"는 하나의 규칙에서 출발해서, 방정식 x²/a² − y²/b² = 1로 표현되고, 끝없이 다가가지만 닿지 않는 점근선을 가지며, 신호 도착 시간 차이로 위치를 찾는 항법 기술의 수학적 뼈대가 돼요. 타원·포물선·쌍곡선을 모두 살펴봤다면, 이 세 곡선이 사실 원뿔을 서로 다른 각도로 잘랐을 때 나오는 단면이라는 "원뿔곡선"이라는 이름의 의미도 함께 찾아보세요.