(a+b)² = a² + 2ab + b². 중학교 수학에서 가장 유명한 공식 중 하나지만, 그냥 외우기만 하면 왜 이렇게 되는지 와닿지 않을 수 있어요. 사실 이 공식은 정사각형의 넓이를 두 가지 방법으로 계산한 결과가 같다는, 아주 자연스러운 사실에서 나온 거예요.
한 변의 길이가 (a+b)인 정사각형을 하나 그려볼게요. 이 정사각형의 넓이는 당연히 (a+b)² 이에요. 그런데 이 정사각형을 가로세로로 각각 a와 b만큼 나누면, 작은 조각 4개가 생겨요: a×a 크기의 정사각형 하나, b×b 크기의 정사각형 하나, 그리고 a×b 크기의 직사각형 두 개예요. 이 네 조각의 넓이를 모두 더하면 a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²가 되고, 이건 처음에 구한 (a+b)²과 정확히 같아야 해요. 그래서 두 식이 같다는 게 증명되는 거예요 — 외운 공식이 아니라, 넓이라는 눈에 보이는 양으로 확인할 수 있는 사실인 거죠.
이제 이 곱셈공식을 거꾸로 뒤집어볼게요. x² + 5x + 6이라는 식이 있다고 해봐요. 이걸 (x+2)(x+3)으로 다시 쓸 수 있어요 — 실제로 전개해보면 x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6이 되어 맞아떨어져요. 이렇게 여러 항으로 이루어진 식을, 곱셈으로 이루어진 식으로 다시 묶는 과정을 인수분해라고 해요. 곱셈공식이 "쪼개진 것을 하나로 합치는" 방향이라면, 인수분해는 "합쳐진 것을 다시 쪼개는" 반대 방향인 셈이에요.
인수분해가 특히 강력한 이유는 이차방정식을 푸는 데 쓰이기 때문이에요. x² + 5x + 6 = 0이라는 방정식을 생각해보세요. 이걸 인수분해하면 (x+2)(x+3) = 0이 돼요. 두 수를 곱해서 0이 되려면, 둘 중 적어도 하나는 반드시 0이어야 해요(0이 아닌 두 수를 아무리 곱해도 0이 될 수 없으니까요). 그래서 x+2=0 또는 x+3=0이 되고, 각각 풀면 x=−2 또는 x=−3이 나와요. 복잡해 보이던 이차방정식이, 인수분해 한 번으로 훨씬 간단한 두 개의 일차방정식으로 쪼개지는 거예요.
인수분해를 빠르게 하는 요령은, 두 근을 곱한 값이 상수항이 되고 두 근을 더한 값에 부호를 반대로 한 값이 x의 계수가 된다는 관계를 거꾸로 이용하는 거예요. x² + bx + c = 0에서, 곱해서 c가 되고 더해서 −b가 되는 두 수를 찾으면 그게 바로 두 근이에요. 예를 들어 x² − x − 6 = 0이라면, 곱해서 −6이고 더해서 1이 되는 두 수는 3과 −2예요. 그래서 (x−3)(x+2)=0, 즉 x=3 또는 x=−2가 돼요.
곱셈공식, 인수분해, 이차방정식은 겉보기엔 다른 주제 같지만 사실 하나로 연결된 이야기예요. 곱셈공식으로 식을 펼치는 법을 배우고, 그 반대 과정인 인수분해로 식을 다시 묶는 법을 배우면, 이차방정식이라는 새로운 문제를 이미 알고 있던 도구로 자연스럽게 풀어낼 수 있게 되는 거예요.
저희 체험 페이지에서는 슬라이더로 a, b를 바꾸며 (a+b)²이 왜 그런 공식이 되는지 정사각형 넓이로 확인할 수 있고, 인수분해로 이차방정식의 두 근을 직접 맞혀보는 연습도 할 수 있어요.