다각형의 내각의 합은 변의 개수에 따라 계속 달라져요. 삼각형은 180°, 사각형은 360°, 오각형은 540°… 변이 하나 늘어날 때마다 180°씩 커지죠. 그런데 외각의 합은 신기하게도 변이 3개든 12개든 상관없이 항상 360°로 똑같아요. 왜 그럴까요?
먼저 외각이 뭔지부터 짚어볼게요. 다각형의 한 변을 꼭짓점 너머로 살짝 연장하면, 그 연장선과 다음 변 사이에 각이 생겨요. 이 각을 외각이라고 해요. 같은 꼭짓점에서 안쪽 각(내각)과 바깥쪽 각(외각)을 더하면 항상 일직선, 즉 180°가 돼요(내각+외각=180°).
가장 직관적인 설명은 "한 바퀴 걷기"예요. 다각형 둘레를 따라 걷는다고 상상해봐요. 한 변을 따라 걷다가 꼭짓점에 도착하면, 다음 변으로 가기 위해 방향을 꺾어야 해요. 이때 꺾는 각도가 바로 그 꼭짓점의 외각이에요. 도형의 모든 변을 다 걸어서 출발점으로 되돌아오면, 처음 걸었던 방향과 정확히 같은 방향을 보게 되죠. 즉, 걷는 동안 꺾은 각도를 모두 더하면 정확히 한 바퀴, 360°를 돈 셈이 돼요. 이게 바로 외각의 합이 항상 360°인 이유예요. 변이 3개짜리 삼각형이든 12개짜리 십이각형이든, 한 바퀴는 언제나 360°니까요.
이 사실을 이용하면 내각의 합 공식도 다시 확인할 수 있어요. 다각형의 꼭짓점은 n개이고, 각 꼭짓점마다 내각+외각=180°가 성립하니, 모든 꼭짓점의 (내각+외각)을 더하면 n×180°가 돼요. 그런데 외각의 합은 항상 360°라는 걸 알고 있으니, 내각의 합은 n×180° − 360° = (n−2)×180°가 되는 거예요. 결국 내각의 합 공식과 외각의 합 공식은 서로 짝을 이루는 관계예요.
정다각형에서는 외각의 합(360°)을 변의 개수로 나누면 한 외각의 크기도 바로 나와요. 정삼각형은 360÷3=120°, 정사각형은 360÷4=90°, 정육각형은 360÷6=60°처럼요. 이 방법은 정다각형의 내각을 직접 (n−2)×180°÷n으로 계산하는 것보다 훨씬 간단해서, 실전에서 자주 사용되는 요령이에요.
저희 체험 페이지에서는 변의 개수를 슬라이더로 바꿔가며, 내각의 합은 계속 커지는데 외각의 합은 항상 360°로 고정되는 걸 직접 확인할 수 있어요. 도형의 한 꼭짓점에서 외각이 어떻게 그려지는지도 함께 보여줘요.