로그는 지수의 반대말이에요. 2³=8이라는 식을 "밑 2를 3번 곱하면 8"이라고 읽으면 지수이고, 거꾸로 "8을 만들려면 2를 몇 번 곱해야 할까?"라고 물으면 로그예요. 답은 3이고, 이걸 log₂8=3이라고 써요. 즉 aˣ=y라는 식을 x에 대해 풀면 x=logₐy가 되는, 완전히 같은 관계를 다른 방향에서 보는 것뿐이에요.
이 관계를 그래프로 보면 훨씬 선명해져요. y=aˣ 위의 점 (p, q)가 있다면, 로그함수는 x와 y를 맞바꾸는 함수이므로 y=logₐx 위에는 반드시 점 (q, p)가 있어요. x좌표와 y좌표를 맞바꾼 점은 항상 직선 y=x에 대해 원래 점과 대칭이에요. 그래서 지수함수와 로그함수의 그래프는 마치 y=x라는 거울에 비친 것처럼 완벽한 대칭을 이뤄요.
지수함수 y=aˣ(단, a>0, a≠1)에는 확실한 특징이 있어요. 항상 (0, 1)을 지나고(a를 0번 곱하면 1이니까요), x가 아무리 작아져도 y는 0보다 커서 절대 x축에 닿지 않아요(점근선). a>1이면 오른쪽으로 갈수록 폭발적으로 증가하고, 0<a<1이면 반대로 점점 0에 가까워지며 감소해요. 로그함수는 이 모든 특징이 좌표만 뒤집힌 채 그대로 나타나요 — (1, 0)을 지나고, y축이 점근선이 돼요.
지수함수와 로그함수는 실생활에서도 짝을 이루어 쓰여요. 인구 증가나 복리 이자처럼 "얼마나 커졌는지"를 계산할 때는 지수함수를, 반대로 지진의 규모(리히터 스케일)나 소리의 크기(데시벨)처럼 "이 값이 나오려면 얼마나 커야 했는지"를 거꾸로 따질 때는 로그를 써요. 지진 규모가 1 커질 때마다 실제 에너지는 약 32배씩 커지는데, 이렇게 어마어마하게 큰 범위의 수를 다루기 편하게 압축해주는 게 로그의 역할이에요.
아이들과 공부할 때는 "2를 몇 번 곱해야 8이 될까?"처럼 로그를 질문 형태로 먼저 익히게 하는 게 좋아요. 그다음 지수함수 그래프를 그리고, 그 위의 몇 개 점의 x와 y를 맞바꿔서 찍어보면 로그함수 그래프가 저절로 나온다는 걸 직접 확인할 수 있어요. 저희 체험 페이지에서는 밑 a를 슬라이더로 바꿔가며, 두 그래프가 항상 y=x에 대해 반사된 모양을 유지한다는 걸 실시간으로 확인할 수 있어요.