어떤 수의 약수를 모두 찾는 건 마치 숨은그림찾기 같은 활동이에요. 12의 약수를 찾으려면 1부터 12까지 하나씩 나눠보면서 나머지가 0이 되는 수를 찾으면 되는데, 이 과정을 직사각형으로 표현하면 훨씬 재미있어집니다.
12개의 바둑돌을 직사각형 모양으로 배열한다고 생각해보세요. 1줄에 12개씩, 2줄에 6개씩, 3줄에 4개씩, 4줄에 3개씩... 이렇게 나누어떨어지는 배열이 몇 가지나 나오는지 세어보면, 그 개수만큼의 약수 쌍이 존재한다는 걸 알 수 있어요. 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12로 총 6개인데, 이는 정확히 3가지 직사각형 배열(1×12, 2×6, 3×4)에 대응합니다.
이 방식으로 약수를 찾다 보면 자연스럽게 소수와 합성수의 차이도 알게 돼요. 7 같은 소수는 1×7이라는 배열밖에 나오지 않아서 약수가 딱 2개뿐이지만, 12처럼 여러 방법으로 나눌 수 있는 합성수는 약수가 훨씬 많습니다. 약수의 개수가 많고 적음이 그 수의 성질을 보여주는 중요한 단서가 되는 거예요.
약수 개념은 물건을 똑같이 나눠 가질 때, 반을 조 편성할 때, 물건을 진열대에 규칙적으로 배열할 때 실생활에서 자주 쓰입니다. 사탕 24개를 몇 명에게 남김없이 똑같이 나눠줄 수 있을지 고민할 때, 우리는 이미 24의 약수를 찾고 있는 셈이죠. 완전수라는 개념도 있는데, 6처럼 자기 자신을 제외한 약수를 모두 더하면 자기 자신이 되는 신기한 수도 있어서, 약수 찾기를 게임처럼 접근하면 아이들이 꽤 흥미로워합니다.
약수의 개수를 세다 보면 재미있는 규칙 하나를 발견할 수 있어요. 대부분의 수는 약수가 짝수 개인데, 16이나 36처럼 어떤 수를 제곱해서 만든 '완전제곱수'는 약수의 개수가 항상 홀수 개입니다. 16의 약수는 1, 2, 4, 8, 16으로 5개인데, 그 이유는 4가 4×4로 자기 자신과 짝을 이루면서 한 번만 세어지기 때문이에요. 나머지 약수들은 모두 서로 다른 짝을 이루지만, 이 가운데 숫자만은 혼자 남는 거죠. 이 규칙은 직사각형 배열로 생각하면 더 쉽게 이해할 수 있어요. 16을 4×4 정사각형으로 배열할 때는 가로세로가 똑같아서 새로운 배열로 중복 세어지지 않거든요. 이런 식으로 약수의 개수만 보고도 그 수가 완전제곱수인지 아닌지 짐작할 수 있다는 게, 약수 찾기의 숨겨진 재미 중 하나입니다.
저희 체험 페이지에서는 숫자를 슬라이더로 바꾸면 가능한 모든 직사각형 배열이 자동으로 그려져요. 눈으로 배열을 세어보면서 약수 개수를 직접 확인하는 경험이, 나눗셈만 반복하는 것보다 훨씬 오래 기억에 남을 거라고 생각합니다. 숫자 하나를 정해서 약수를 모두 찾아보고, 그 약수의 개수가 짝수인지 홀수인지 미리 예상해본 다음 실제로 확인해보는 놀이를 곁들이면, 아이 스스로 규칙을 발견하는 뿌듯함까지 함께 얻을 수 있어요. 숫자를 하나씩 늘려가며 24, 36, 48처럼 약수가 유난히 많은 수들을 찾아보게 하는 것도 좋은 활동이에요. 왜 어떤 수는 약수가 많고 어떤 수는 적은지 스스로 이유를 추측해보게 하면, 소인수분해라는 다음 단원으로 자연스럽게 넘어갈 준비가 됩니다.