상자를 펼치면 보이는 것 — 직육면체 겉넓이와 부피

택배 상자의 겉을 다 칠하려면 페인트가 얼마나 필요할까요? 그리고 그 상자 안에는 물건이 얼마나 들어갈까요? 겉넓이와 부피는 서로 다른 질문에 대한 답이에요.

1직육면체는 늘 세 쌍의 면으로 이루어져요

상자를 이루는 여섯 개의 면은 서로 마주 보는 세 쌍으로 나뉘어요. 위-아래, 앞-뒤, 옆-옆이죠. 그리고 마주 보는 면끼리는 크기와 모양이 완전히 똑같아요.

위·아래가로×세로 크기의 면 두 장

앞·뒤가로×높이 크기의 면 두 장

옆·옆세로×높이 크기의 면 두 장

그래서 여섯 면을 하나씩 다 더할 필요 없이, 세 가지 넓이만 구해서 2배 해주면 돼요.

가로를 a, 세로를 b, 높이를 h라고 하면, 겉넓이는 이렇게 구해요.

겉넓이 = 2 × (a×b + a×h + b×h)

가로 4, 세로 3, 높이 2인 상자라면 2×(4×3 + 4×2 + 3×2) = 2×(12+8+6) = 52예요.

체험 페이지에서 "전개도로 보기"를 눌러보면, 상자가 펼쳐지면서 이 세 쌍의 면이 실제로 몇 개씩 있는지 눈으로 셀 수 있어요.

부피는 상자 안에 정육면체 모양의 블록이 몇 개 들어가는지를 나타내요. 바닥에 가로×세로만큼 블록을 깔고, 그 층을 높이만큼 쌓아 올린다고 생각하면 돼요.

부피 = a × b × h

가로 4, 세로 3, 높이 2라면 바닥 한 층에 4×3=12개, 그런 층이 2개니까 12×2 = 24예요.

가로·세로·높이를 똑같이 2배로 늘리면 겉넓이는 4배(제곱)로, 부피는 8배(세제곱)로 늘어나요. 겉넓이는 "면"을 재는 것이라 두 길이가 곱해지고, 부피는 "공간"을 채우는 것이라 세 길이가 곱해지기 때문이에요.

정육면체는 특별한 직육면체예요.
가로, 세로, 높이가 모두 같으면 정육면체가 돼요. 이때는 겉넓이가 6×(한 변)², 부피가 (한 변)³으로 더 간단해져요.