"소수를 전부 다 찾았다!"라고 아무리 긴 목록을 만들어도, 그 목록에 있는 소수를 전부 곱한 뒤 1을 더하면 항상 목록에 없는 새로운 소수(또는 새 소수의 배수)가 나와요. 그래서 소수는 절대 끝나지 않아요. 목록의 개수를 슬라이더로 바꿔가며 직접 확인해보세요.
왜 이 방법이 통할까요? N = (목록의 모든 소수를 곱한 값) + 1을 목록에 있는 어떤 소수로 나누어도 항상 나머지가 1이 남아요(원래 곱셈 부분은 딱 나누어떨어지니까요). 그러니 N은 목록에 있는 소수들 중 어느 것으로도 나누어떨어지지 않아요.
그런데 모든 자연수(1보다 큰)는 소인수분해가 가능하니, N도 어떤 소수로는 나누어떨어져야 해요. 그 소수는 원래 목록에 없던 것일 수밖에 없어요 — N 자신이 새로운 소수이거나, N을 나누는 새로운 소수가 존재하거나요. 결국 "모든 소수를 다 모았다"는 가정은 항상 깨져요.