3리터와 5리터 양동이만 가지고 정확히 4리터를 만들 수 있을까요? 저울도, 눈금도 없이 딱 그 두 개의 양동이만으로요. 이 유명한 퍼즐은 영화 "다이 하드 3"에서 폭탄을 해체하기 위한 문제로 등장하면서 더 널리 알려졌는데, 사실 그보다 훨씬 오래전부터 전해 내려오는 고전 수학 퍼즐이에요.
규칙은 단순해요. 양동이를 가득 채우기, 완전히 비우기, 그리고 한 양동이에서 다른 양동이로 붓기(받는 쪽이 가득 차거나 붓는 쪽이 빌 때까지) — 이 세 가지 행동만 할 수 있어요. 계량컵도, 눈금도 없이 이 세 행동만 반복해서 원하는 양을 정확히 만들어야 해요. 3L·5L 문제의 경우, 5L를 가득 채운 다음 3L로 옮겨 부으면 5L 양동이에 2L가 남고, 3L 양동이를 비운 뒤 그 2L를 옮기고 5L를 다시 채워서 3L 양동이에 부으면(3L 양동이엔 이미 2L가 있으니 1L만 더 들어가요) 5L 양동이에 정확히 4L가 남아요.
이 퍼즐에는 놀라운 수학적 사실이 숨어있어요. 두 양동이의 용량이 각각 a, b리터일 때, 이 둘로 만들 수 있는 모든 양은 정확히 a와 b의 최대공약수(GCD)의 배수들이에요. 3과 5의 최대공약수는 1이라서, 이론적으로 1L부터 시작해서 원하는 어떤 정수 양이든 만들 수 있어요. 하지만 만약 4L와 6L 양동이를 썼다면, 최대공약수가 2이기 때문에 홀수 리터(1L, 3L, 5L...)는 절대 만들 수 없고 짝수 리터만 만들 수 있어요.
왜 그럴까요? 채우기·비우기·붓기라는 세 행동을 아무리 반복해도, 양동이 안에 담긴 물의 양은 항상 "a리터의 정수배 + b리터의 정수배"라는 형태로만 나타낼 수 있어요(더하거나 빼는 방식으로요). 그런데 이런 조합으로 만들 수 있는 수는 수학적으로 정확히 a와 b의 최대공약수의 배수들이라는 사실이 알려져 있어요(이걸 "베주 항등식"이라고 불러요). 그래서 최대공약수가 1이면 모든 정수를, 최대공약수가 2 이상이면 그 배수만 만들 수 있는 거예요.
이런 "제한된 도구로 정확한 양을 만드는" 문제는 실생활에서도 종종 등장해요. 요리할 때 정확한 계량컵이 없어서 있는 그릇들로 양을 맞추거나, 두 가지 크기의 병만으로 정확한 양의 액체를 나누는 상황이 그 예예요. 컴퓨터 과학에서도 비슷한 원리가 쓰이는데, 유클리드 호제법(최대공약수를 구하는 알고리즘) 자체가 바로 이 "덜어내기를 반복해서 답을 찾는" 방식과 똑같은 아이디어에서 나왔어요.
아이들과 풀어볼 때는 처음엔 힌트 없이 스스로 시행착오를 해보게 하는 게 좋아요. 몇 번 헤매다 보면 "아, 이렇게 하면 되겠다"는 감을 스스로 찾게 되는데, 이 과정 자체가 훌륭한 논리적 사고 훈련이에요. 막히면 힌트 버튼으로 다음 단계를 하나씩만 확인하고, 다시 스스로 이어서 풀어보게 하면 성취감도 함께 느낄 수 있어요.
저희 체험 페이지에서는 매번 두 양동이의 용량과 목표량이 무작위로 바뀌는 새로운 문제에 도전할 수 있어요. 채우기·비우기·붓기 버튼을 눌러가며 목표량을 만들어보고, 정말 최대공약수의 배수만 만들어지는지 여러 조합으로 확인해보세요.