원의 방정식 x²+y²=r²은 y가 x만의 식으로 깔끔하게 풀리지 않아요(제곱근을 쓰면 풀리긴 하지만 위쪽 반원과 아래쪽 반원, 두 개의 식으로 나뉘죠). 이렇게 y=f(x) 형태로 명시적으로 정리되지 않은 식을 음함수라고 불러요. 그런데 이런 음함수도 접선의 기울기를 구할 수 있는 방법이 있어요 — 심지어 두 가지나요.
첫 번째 방법은 매개변수 미분이에요. 원 위의 한 점을 각도 t로 나타내면 x=r cos t, y=r sin t로 쓸 수 있어요. 이렇게 x와 y가 둘 다 t라는 제3의 변수로 표현될 때, dy/dx는 각각을 t로 미분한 dy/dt와 dx/dt의 비율로 구해요: dy/dx = (dy/dt)÷(dx/dt). 원의 경우 dx/dt=−r sin t, dy/dt=r cos t이니, dy/dx = (r cos t)÷(−r sin t) = −cos t/sin t가 됩니다.
두 번째 방법은 음함수 미분이에요. x²+y²=r²의 양변을 그냥 x에 대해 미분해봅시다. x²을 미분하면 2x가 나오는 건 똑같은데, y²을 미분할 때는 주의가 필요해요. y는 사실 x의 함수이니(비록 식으로 풀리진 않았지만), 연쇄법칙을 적용해서 y²을 미분하면 2y·(dy/dx)가 나와요. 오른쪽 r²은 상수라 미분하면 0이죠. 그러면 2x + 2y·y′ = 0이라는 식이 나오고, 이걸 y′에 대해 정리하면 y′ = −x/y가 됩니다.
여기서 신기한 점을 확인할 수 있어요. 매개변수 미분으로 구한 −cos t/sin t와, 음함수 미분으로 구한 −x/y가 정말 같은 값일까요? x=r cos t, y=r sin t를 대입해보면 −x/y = −(r cos t)/(r sin t) = −cos t/sin t로, 두 식이 정확히 똑같아집니다! 서로 완전히 다른 방법으로 접근했는데 답이 같다는 건 우연이 아니에요. 두 방법 모두 결국 "같은 원 위의 같은 점"에서 접선을 구하는 것이기 때문에, 표현 방법만 다를 뿐 답은 하나로 정해질 수밖에 없어요.
이 두 가지 미분법은 언제 쓰일까요? 매개변수 미분은 시간에 따라 움직이는 물체의 경로(예: 발사체의 궤적, 회전하는 바퀴 위의 한 점)처럼 x, y가 모두 시간 t에 따라 정해지는 상황에서 자연스럽게 쓰여요. 음함수 미분은 원, 타원처럼 y=f(x)로 깔끔하게 풀기 어려운 식에서 접선을 구할 때 유용하고요. 두 방법 다 알아두면, 상황에 맞는 더 쉬운 쪽을 골라 쓸 수 있어요.
저희 체험 페이지에서는 원 위의 점을 각도로 슬라이더 조절하면서, 매개변수 미분 탭과 음함수 미분 탭에서 각각 계산 과정을 단계별로 보여줘요. 두 탭을 오가며 같은 점에서 정말 같은 기울기가 나오는지 소수점까지 직접 비교해보세요.