평면 위에 점 두 개를 아무렇게나 찍어보세요. 그 두 점을 지나는 직선은 딱 하나뿐이에요. 점이 하나뿐이면 그 점을 지나는 직선이 무수히 많지만(마치 시계 바늘이 한 점을 중심으로 어느 방향이든 향할 수 있는 것처럼요), 점이 두 개가 되는 순간 방향이 고정돼서 직선이 하나로 정해져요.
이 직선을 방정식으로 표현하려면 먼저 기울기부터 구해야 해요. 기울기는 "x가 1만큼 늘어날 때 y가 얼마나 변하는지"를 나타내는 값이에요.
예를 들어 A(−3, −2)와 B(4, 3)을 지나는 직선의 기울기는 (3−(−2)) / (4−(−3)) = 5/7이에요. 기울기를 구했다면, 점 하나(예: A)와 이 기울기를 이용해서 직선의 방정식을 완성할 수 있어요.
이걸 점-기울기 형태라고 불러요. 정리하면 흔히 보는 y = mx + b 형태(기울기-절편형)로도, ax + by + c = 0 형태(일반형)로도 바꿀 수 있어요. 세 형태 모두 같은 직선을 표현하지만, 상황에 따라 더 편한 형태가 달라요.
한 가지 주의할 점이 있어요. 만약 두 점의 x좌표가 똑같다면(예: (2, 1)과 (2, 5)), 기울기 공식의 분모가 0이 되어버려요. 이런 직선은 세로로 곧게 뻗은 수직선이라서 기울기가 "정의되지 않는다"고 말해요. 이때는 방정식이 그냥 x = 2처럼 x좌표만으로 표현돼요.
직선 두 개의 관계도 기울기로 판단할 수 있어요. 두 직선이 평행하면 기울기가 서로 같아요(m₁ = m₂) — 절대 만나지 않고 나란히 가니까요. 두 직선이 수직으로 만나면 기울기를 곱했을 때 항상 −1이 나와요(m₁ × m₂ = −1). 예를 들어 기울기가 2인 직선과 수직인 직선의 기울기는 −1/2이에요.
이 조건은 나중에 원의 접선, 도형의 넓이, 벡터의 수직 판정 등 여러 곳에서 계속 쓰이는 중요한 도구예요. 저희 체험 페이지에서는 두 점 A, B를 슬라이더로 자유롭게 움직이며 기울기와 방정식(점-기울기형, 일반형)이 실시간으로 바뀌는 걸 볼 수 있고, 평행선·수직선 버튼으로 기울기 사이의 관계도 직접 확인할 수 있어요.