좌표평면 위에 점 A(1, 1)과 점 B(5, 4)가 있다고 해봐요. 두 점 사이의 거리는 얼마일까요? 자로 대각선을 재는 것 말고, 계산으로 정확하게 구하는 방법이 있어요. 그리고 그 방법은 놀랍게도 예전에 배운 피타고라스 정리와 완전히 똑같은 원리예요.
비결은 두 점을 잇는 대각선 대신, 가로선과 세로선을 하나씩 그어보는 거예요. A(1,1)에서 오른쪽으로 쭉 가서 B와 같은 x좌표인 지점(5,1)까지 가로로 이동하고, 그다음 위로 쭉 올라가 B(5,4)까지 세로로 이동하면 직각삼각형이 만들어져요. 가로로 이동한 거리는 5−1=4, 세로로 이동한 거리는 4−1=3이에요. 그리고 처음에 구하려던 A와 B 사이의 대각선 거리는 바로 이 직각삼각형의 빗변이 되는 거예요!
피타고라스 정리는 직각삼각형에서 (밑변)² + (높이)² = (빗변)²이 성립한다는 정리였어요. 여기에 대입하면 4² + 3² = 16 + 9 = 25이니, 빗변(=거리)은 √25 = 5가 됩니다. 실제로 3-4-5는 피타고라스 정리에서 가장 유명한 직각삼각형 조합이에요.
이걸 일반적인 공식으로 정리하면 이렇게 돼요. 점 A(x₁, y₁)과 점 B(x₂, y₂) 사이의 거리는, 가로 차이(x₂−x₁)와 세로 차이(y₂−y₁)를 각각 제곱해서 더한 다음 제곱근을 씌운 값이에요: 거리 = √{(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²}. 복잡해 보이지만, 결국 "가로로 얼마나 떨어졌는지"와 "세로로 얼마나 떨어졌는지"를 직각삼각형의 두 변으로 보고, 피타고라스 정리로 빗변을 구하는 것뿐이에요.
특별한 경우도 살펴볼까요? 만약 두 점이 세로로만 떨어져 있다면(x좌표가 같다면), 가로 차이는 0이 되니 공식은 그냥 세로 차이의 절댓값이 돼요. 반대로 가로로만 떨어져 있다면 세로 차이가 0이 되어 가로 차이만 남죠. 어느 경우든 공식이 자연스럽게 더 간단한 상황에 맞춰 줄어드는 걸 확인할 수 있어요.
이 공식은 나중에 배우는 도형의 넓이 계산이나, 원의 방정식(원 위의 모든 점이 중심에서 같은 거리에 있다는 성질을 식으로 표현), 벡터의 크기 계산에서도 계속 등장하는 아주 기본적인 도구예요. 저희 체험 페이지에서는 A, B 두 점의 좌표를 슬라이더로 자유롭게 바꿔가며, 직각삼각형이 만들어지는 과정과 거리 공식이 적용되는 과정을 단계별로 확인할 수 있어요.