동전을 10번 던지면 앞면이 몇 번 나올까요? 정확히 5번이 나올 수도 있고, 3번만 나올 수도 있고, 운이 좋으면 10번 모두 앞면이 나올 수도 있어요. 이렇게 같은 시행을 정해진 횟수만큼 독립적으로 반복했을 때, 원하는 결과(성공)가 몇 번 나오는가를 다루는 확률분포가 바로 이항분포(binomial distribution)예요.
이항분포가 적용되려면 몇 가지 조건이 필요해요. 첫째, 각 시행의 결과가 '성공' 아니면 '실패' 둘 중 하나여야 하고, 둘째, 성공할 확률 p가 매 시행마다 똑같아야 하며, 셋째, 각 시행이 서로 영향을 주지 않는 독립시행이어야 해요. 동전 던지기(앞면 확률 항상 1/2), 농구 자유투(매번 같은 성공률이라고 가정), 부품 검사(불량률이 일정하다고 가정) 모두 이 조건을 만족해서 이항분포로 다룰 수 있어요.
시행을 n번 반복했을 때 성공이 정확히 k번 나올 확률은 P(X=k) = ₙCₖ × pᵏ × (1−p)ⁿ⁻ᵏ로 나타내요. 이때 확률변수 X가 이항분포 B(n, p)를 따른다고 말해요. 공식을 뜯어보면, pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ는 성공이 k번, 실패가 (n−k)번인 '특정한 한 가지 순서'가 나올 확률이고, 조합 ₙCₖ는 n번 중 어느 자리가 성공이 될지 고르는 경우의 수예요. 즉 '한 가지 경우의 확률' × '가능한 경우의 수'로 전체 확률을 구하는 거죠.
이항분포의 평균(기댓값)은 아주 간단하게 E(X) = np로 구할 수 있어요. 예를 들어 동전을 10번 던지면 평균적으로 5번(10×0.5) 앞면이 나오고, 성공률 70%인 자유투를 10번 던지면 평균 7번(10×0.7) 성공한다고 기대할 수 있는 거죠. 분산은 V(X) = np(1−p)로, 표준편차는 그 제곱근으로 구해요.
히스토그램의 모양은 p값에 따라 크게 달라져요. p가 0.5에 가까우면 평균을 중심으로 좌우가 거의 대칭인 종 모양에 가까워지고, p가 0이나 1에 가까워질수록 분포가 한쪽으로 몰리는 비대칭 모양이 돼요. 예를 들어 불량률이 5%인 부품을 20개 검사하면, 불량 개수는 0이나 1 근처에 확률이 몰리고 오른쪽으로 길게 꼬리를 늘어뜨리는 모양이 되죠.
n이 커질수록 막대의 개수가 많아지면서 분포가 점점 매끈해지는데, 특히 p가 0.5에 가까운 경우에는 n이 커질수록 익숙한 종 모양, 즉 정규분포에 가까워져요. 이 관계는 '정규분포 실험실'에서 이어서 확인할 수 있어요.
체험 페이지에서는 동전 던지기, 자유투, 부품 불량 검사 같은 상황을 골라보거나 n과 p를 직접 슬라이더로 바꿔가며, 히스토그램의 모양과 평균(np)의 위치가 실시간으로 바뀌는 걸 확인할 수 있어요.